Ciao!
Vedo che vi state documentando con attenzione
Allora, se riuscite ad avere una nuova lettiera prima della gabbia, potete aggiungerne un po’ alla gabbietta attuale, in modo che prenda l’odore del cricetino e poi trasferirla nella nuova gabbia, mettendo solo poco tutolo.
Altrimenti trasferite pure la lettiera in tutolo (magari mettendola solo in una metà della gabbia) e aggiungete la nuova lettiera. Eliminerete poi il tutolo nei cambi successivi

(ma in fondo se anche ne resta un po’ insieme al resto non è un problema, l’importante sarebbe evitare il tutto tutolo per il motivo che hai detto

)